Θέματα διαγωνισμών «Θαλής» περασμένων χρόνων για την Γ΄ Τάξη Γυμνασίου

1. Δίνονται οι παραστάσεις :

Α = , B = . Αν είναι Α = Β , να βρείτε την τιμή του x.

2. Το σημείο Α(– λ + 2 , 4λ – 1 ) , όπου λ θετικός ακέραιος , βρίσκεται στο πρώτο

τεταρτημόριο ενός συστήματος ορθογωνίων αξόνων Οxy. Να βρεθούν :

α) ο θετικός ακέραιος λ , β) το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΟΑ ,

γ) το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΟΒΑΓ , όπου Β , Γ είναι τα ίχνη των καθέτων από το

σημείο Α προς τους ημιάξονες Ox και Οy , αντίστοιχα .

3. Στο παρακάτω σχήμα δίνονται ορθογώνιο ΑΒΓΔ με πλευρές ΑΒ = α , ΑΔ = 2α και

τέσσερα ημικύκλια εξωτερικά του ορθογωνίου. Ο εξωτερικός κύκλος έχει κέντρο το

σημείο τομής Ο των διαγωνίων του ορθογωνίου. Να υπολογιστεί συναρτήσει του α

το εμβαδόν του χωρίου που βρίσκεται έξω από τα ημικύκλια και μέσα στον εξωτερικό

κύκλο.

4. Αν ισχύει , όπου ν θετικός ακέραιος , να βρεθεί η τιμή της παράστασης :

Α = .

5. Αν ν είναι θετικός ακέραιος , να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης :

Α = .

6. Ο θετικός ακέραιος α είναι περιττός και όταν διαιρεθεί με το 5 δίνει υπόλοιπο 2 .

Να βρείτε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού α .

7. Δίνονται δυο ευθείες , οι οποίες τέμνονται στο σημείο Α . Η ευθεία διέρχεται

από την αρχή των αξόνων και έχει κλίση 4 , ενώ η ευθεία είναι παράλληλη προς την

ευθεία (η) : y = 2x και διέρχεται από το σημείο Γ(0,6).

α) Να βρείτε τις εξισώσεις των παραπάνω ευθειών καθώς και το κοινό τους σημείο Α.

β) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ , όπου Ο είναι η αρχή του συστήματος

ορθογωνίων αξόνων Οxy , Α το κοινό σημείο των ευθειών και Β το σημείο όπου η

ευθεία τέμνει τον άξονα x΄x (Να κάνετε ένα πρόχειρο σχήμα για να βοηθηθείτε).

8. Τρείς κύκλοι έχουν το ίδιο κέντρο Ο και ακτίνες , , με 0 .

Έστω ο κυκλικός δακτύλιος που ορίζεται από τους κύκλους κέντρου Ο και ακτίνες

, και ο κυκλικός δακτύλιος που ορίζεται από τους κύκλους κέντρου Ο και

ακτίνες , . Αν είναι - = - και = 3 , να βρείτε τον λόγο ,

όπου και είναι τα εμβαδά των δακτυλίων και .

9. Αν x + y = και y – w = , να βρεθεί η τιμή της

παράστασης : Α = 7x + 10y – 3w – 87 .

10.Να βρείτε έναν τετραψήφιο φυσικό αριθμό , αν γνωρίζετε ότι ισχύουν όλα τα

παρακάτω :

α) Το ψηφίο των μονάδων είναι πολλαπλάσιο του 4 ,

β) Το ψηφίο των δεκάδων του είναι το μισό του ψηφίου των μονάδων του ,

γ) Το ψηφίο των εκατοντάδων του είναι διαιρέτης του 5 ,

δ) Το ψηφίο των χιλιάδων του είναι ίσο με το ψηφίο των εκατοντάδων του μειωμένο

κατά 1 .

11.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με . Στο εσωτερικό της γωνίας Α φέρουμε ημιευθείες

Αx και Αy κάθετες στις πλευρές ΑΓ και ΑΒ , αντίστοιχα , που τέμνουν την πλευρά

ΒΓ στα σημεία Δ και Ε , αντίστοιχα. Αν , και το ύψος

ΑΗ έχει μήκος μονάδες μήκους , τότε :

α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισόπλευρο .

β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές .

γ) Να βρείτε το λόγο των περιμέτρων των τριγώνων ΑΒΓ και ΑΔΕ .

12. Στο παρακάτω σχήμα το τετράγωνο ΑΒΓΔ έχει πλευρά 2ρ. Ονομάζουμε το

χωρίο που αποτελείται από τα τέσσερα κυκλικά τμήματα του κύκλου C(O,OA) που

ορίζονται από τις χορδές ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ και ΔΑ. Επίσης ονομάζουμε το χωρίο

που βρίσκεται εξωτερικά του κύκλου C(Ο ,ρ) και εσωτερικά του τετραγώνου ΑΒΓΔ.

α) Να βρείτε το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου Δ(Ο,ρ,ΟΑ) που ορίζεται από τους

κύκλους C(Ο ,ρ) και C(O,OA) .

β) Να αποδείξετε ότι τα εμβαδά Ε( και Ε( των χωρίων και ,

αντίστοιχα έχουν λόγο μεγαλύτερο του .

γ) Να προσδιορίσετε την ακτίνα x του κύκλου C(O,x) που χωρίζει τον κυκλικό

δακτύλιο Δ(Ο,ρ,ΟΑ) σε δυο κυκλικούς δακτυλίους ίσου εμβαδού.

13. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων :

Α = ,

Β =

Για ποιες τιμές του x αληθεύει η ανίσωση Α Β ;

14. Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ = ΑΓ και .

Η ευθεία (ε) είναι παράλληλη προς την πλευρά ΒΓ και η ευθεία (δ) είναι

μεσοκάθετη της πλευράς ΑΓ.

α) Να υπολογίσετε την γωνία , β) Να αποδείξετε ότι ΚΑ = ΑΖ .

15. α) Να αποδείξετε ότι , αν ένας φυσικός αριθμός είναι τετράγωνο φυσικού αριθμού ,

τότε το τελευταίο του ψηφίο ανήκει στο σύνολο Σ = { 0,1,4,5,6,9 } .

β) Να βρεθεί πενταψήφιος φυσικός αριθμός της μορφής Α = aaabb , όπου a , b ψηφία

με a 0 , ο οποίος είναι τετράγωνο φυσικού αριθμού , περιττός και διαιρείται με

το 9 .

16. Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ = ΑΓ και .

Η ΑΔ είναι παράλληλη προς την ΒΓ και η ΓΔ είναι κάθετη προς την ΟΓ.

α) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ΟΑΕΓ συναρτήσει της πλευράς

ΒΓ = α του τριγώνου ΑΒΓ. (δίνεται ότι το εμβαδόν κυκλικού τομέα = ) .

β) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ισοσκελές.

γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ συναρτήσει της πλευράς ΒΓ = α .

17. Έστω ότι α = β + 2005. Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης :

Κ = – 3[2(α + 2β) – 2(3β – 2α) – 4β] + 19(α – β) .

18. Να βρεθεί το μικρότερο θετικό πολλαπλάσιο του 2005 , το οποίο διαιρούμενο δια του

2001 αφήνει υπόλοιπο 12.

19. Να βρεθεί ο μικρότερος θετικός ρητός αριθμός του οποίου το 33% καθώς και το 15%

είναι ακέραιος.

20. Είναι δυνατόν να υπάρχουν στο εσωτερικό ενός κυρτού τετραπλεύρου δυο

διαφορετικά σημεία από το καθένα από τα οποία όλες οι πλευρές του τετραπλεύρου να

φαίνονται υπό ίσες γωνίες ; Δικαιολογήστε την απάντησή σας .

21. Δίνονται οι παραστάσεις :

Α = , B = .

Αν είναι Α = 6Β να προσδιορίσετε την τιμή του x .

22. Στο παρακάτω σχήμα η ευθεία ΜΛ είναι κάθετη προς την πλευρά ΒΓ στο μέσον

της Μ . Επιπλέον ισχύει ΛΓ = κ , , .

Να βρείτε :

α) Τις γωνίες , , του τριγώνου ΑΒΓ .

β) Τις πλευρές ΑΒ , ΒΓ , ΓΑ συναρτήσει του κ .

γ) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ .

23. Μια εταιρεία χρησιμοποίησε 20 εργάτες επί 6 μήνες , εργαζόμενους 8 ώρες το

24ωρο , για να τελειώσει το μισό ενός έργου. Επειδή το υπόλοιπο του έργου πρέπει να

τελειώσει σε 2 μήνες η εταιρεία αποφάσισε να προσλάβει και άλλους εργάτες , της

ίδιας απόδοσης ανά ώρα , οι οποίοι θα δουλεύουν δεύτερη βάρδια επί 10 ώρες το

24ωρο , ενώ οι υπάρχοντες εργάτες θα δουλεύουν όπως και πριν . Πόσους επιπλέον

εργάτες πρέπει να προσλάβει η εταιρεία ώστε να τελειώσει το έργο ακριβώς σε δυο

μήνες ;

24.Στο παρακάτω σχήμα τα τετράπλευρα ΑΒΓΔ και ΙΚΛΜ είναι τετράγωνα . Επιπλέον

το ΑΒΓΔ έχει πλευρά 4α ενώ ΑΕ = ΒΖ = ΓΗ = ΔΘ = α . Να υπολογίσετε :

i) Την ΑΗ ως συνάρτηση του α .

ii) Το εμβαδόν του τετραγώνου ΙΚΛΜ ως συνάρτηση του α .