Θέματα διαγωνισμών «Θαλής» περασμένων χρόνων για την  Β΄ Τάξη  Γυμνασίου

1. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

    Α=

2. Στο παρακάτω σχήμα η ευθεία Αy είναι παράλληλη προς την πλευρά ΒΓ του τριγώνου

    ΑΒΓ και διχοτόμος της γωνίας   . Δίνεται ακόμη ότι  =  και ΑΒ = ΑΔ .

    α) Να βρείτε τις γωνίες   και    του τριγώνου ΑΒΓ.

    β) Να εξηγήσετε γιατί η  ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας  .

                                    

3. Αν για τον θετικό ακέραιο αριθμό α ισχύει :   , να βρεθεί η τιμή της

    παράστασης  Α= α + 5(4 + α) + 3(α – 4) + 1919 .

4. Ένα γυμνάσιο συμμετέχει στην παρέλαση για την επέτειο μιας Εθνικής γοιρτής με το

     60% των αγοριών και το 80% των κοριτσιών του. Τα αγόρια που συμμετέχουν αν

     παραταχθούν σε τριάδες , τότε δεν περισσεύει κανείς , ενώ , αν παραταχθούν σε

     πεντάδες ή επτάδες , τότε και στις δυο περιπτώσεις περισσεύουν από τρείς . Όλα τα

     αγόρια του Γυμνασίου είναι περισσότερα από 100 και λιγότερα από 200 . Αν το 80%

    των κοριτσιών είναι αριθμός διπλάσιος από τον αριθμό που αντιστοιχεί στο 60% του

    αριθμού των αγοριών , να βρείτε το συνολικό αριθμό των κοριτσιών και αγοριών του

    Γυμνασίου.

5. Αν  α =    και    β =  ,  να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης :

           Α =   .

6. Έστω  α  θετικός ακέραιος τον οποίο διαιρούμε με  4.

    i) Ποιες είναι οι δυνατές μορφές του παραπάνω θετικού ακεραίου  α ;

   ii) Ποιες είναι οι δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει ο αριθμός  α , αν είναι περιττός

       μεγαλύτερος από 39 και μικρότερος από 50 ,και διαιρούμενος με το 4 δίνει υπόλοιπο 1.

7. Δίνεται ένα τρίγωνο  ΑΒΓ του οποίου οι γωνίες   και   έχουν άθροισμα   και 

    είναι ανάλογες με τους αριθμούς  1  και  6 , αντίστοιχα.

    α) Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου.

    β) Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζουν το ύψος  ΑΔ  και η διχοτόμος  ΑΕ  του

        τριγώνου  ΑΒΓ (Πρώτα να κάνετε το σχήμα με τις γωνίες που βρήκατε στο (α)

        ερώτημα).

8. Από τους μαθητές ενός Γυμνασίου , το  ασχολείται με το στίβο , το  ασχολείται με το

    μπάσκετ , το   ασχολείται με το βόλεϊ  και περισσεύουν και 80 μαθητές που δεν

    ασχολούνται με κανένα απ’ αυτά τα αθλήματα .Δεδομένου ότι οι μαθητές του Γυμνασίου

    οι ασχολούμενοι με τον αθλητισμό , ασχολούνται με ένα μόνο άθλημα , εκτός από 12

    μαθητές που ασχολούνται και με το μπάσκετ και με το βόλεϊ , να βρείτε :

    α) Ποιος είναι ο αριθμός των μαθητών του Γυμνασίου ;

    β) Πόσοι είναι οι μαθητές του Γυμνασίου που ασχολούνται μόνο με το μπάσκετ ;

9. Έστω  x =   και   y =  .

     α) Να βρεθούν οι αριθμοί  x  και  y .

     β) Να προσδιορίσετε το μεγαλύτερο θετικό ακέραιο  Α , του οποίου οι αριθμοί  x  και  y

         είναι πολλαπλάσια .

10.Έστω  α , β φυσικοί αριθμοί . Δίνεται ότι  η  Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον  α 

      και διαιρέτη  τον  β  δίνει πηλίκο  6 . Να βρεθεί  ο αριθμός  α , αν επιπλέον γνωρίζετε

      ότι  ο  α  είναι πολλαπλάσιο του  7 , ενώ ο αριθμός  β  είναι  ο  μέγιστος κοινός

      διαιρέτης των  αριθμών 16 , 32 και  248 .

11.Δίνεται τρίγωνο  ΑΒΓ. Οι διχοτόμοι των γωνιών  Β και Γ τέμνονται  στο σημείο  Ι.

      Η παράλληλη από το σημείο  Ι  προς την πλευρά  ΑΒ τέμνει  την πλευρά  ΒΓ στο  Δ

      ενώ η παράλληλη από το  Ι  προς την πλευρά ΑΓ τέμνει την  ΒΓ στο  Ε. Αν είναι

        και   , να βρεθούν  : α) η γωνία   του τριγώνου  ΑΒΓ  ,

      β) οι γωνίες  και   .

12.Ένας αγρότης καλλιέργησε δυο κτήματα με  ελαιόδενδρα . Το ένα κτήμα είναι δικό του

      και έχει 80 ελαιόδενδρα , ενώ το άλλο το μισθώνει και έχει 120 ελαιόδενδρα .

      Η συνολική παραγωγή λαδιού ήταν  2600 kg  λάδι . Αν είχε συμφωνήσει να δώσει στον

      ιδιοκτήτη του μισθωμένου κτήματος το 10%  της παραγωγής λαδιού του μισθωμένου

      κτήματος , πόσα  kg λάδι θα πάρει ο ιδιοκτήτης του μισθωμένου κτήματος σε καθεμία

      από τις παρακάτω περιπτώσεις :

      α) Καθένα από τα ελαιόδενδρα των δυο κτημάτων παράγει τα ίδια  kg  λάδι.

      β) Κάθε ελαιόδενδρο του μισθωμένου κτήματος έχει απόδοση σε λάδι ίση με το 150%

          της απόδοσης σε λάδι κάθε ελαιοδένδρου του κτήματος του αγρότη.

13.Να υπολογίσετε την τιμή της αριθμητικής παράστασης :

     Α =  .

14.Οι μαθητές ενός γυμνασίου μπορούν να παραταχθούν σε εξάδες , σε οκτάδες και σε

      δεκάδες , χωρίς να περισσεύει κανένας. Τα πλήθη των μαθητών των τάξεων  Α΄, Β΄ και

      Γ΄ είναι ανάλογα προς τους αριθμούς  5 , 4 , 3 αντίστοιχα. Αν το πλήθος των μαθητών

      του γυμνασίου είναι αριθμός μεγαλύτερος του  300  και μικρότερος του  400 , να βρεθεί

      το πλήθος των μαθητών κάθε τάξης .

15.Ένας έμπορος αγόρασε  200 κιλά φράουλες με τιμή αγοράς  3 €/Kg . Κατά την

      μεταφορά είχε απώλεια  10% στα κιλά που αγόρασε. Πόσο πρέπει να πουλήσει το κιλό

      της φράουλες ώστε να έχει κέρδος 20% επί της τιμής της αγοράς ;

16.Στο τραπέζιο  ΑΒΓΔ του παρακάτω σχήματος  η μεγάλη βάση ΒΓ είναι διπλάσια της

     μικρής βάσης  ΑΔ. Αν το εμβαδόν του τραπεζίου είναι  300 cm2 και το σημείο Κ είναι

     το συμμετρικό του  Α  ως προς την ευθεία  ΒΓ ( δηλαδή η ΒΓ  είναι μεσοκάθετος της 

     ΑΚ ) , να υπολογίσετε :

     α) Το εμβαδόν του τριγώνου  ΑΒΔ και  β) Το εμβαδόν του τετραπλεύρου  ΑΒΚΓ. 

                                  

17.Να  υπολογισθεί  το  3,6% του αριθμού   Α =   .

18.Ο Γιώργος πήγε στο βιβλιοπωλείο έχοντας  20 € . Στο μαγαζί υπάρχουν δύο είδη

      μολυβιών . Η εξάδα του  πρώτου είδους κόστιζε  1,17 € , ενώ η εξάδα του δεύτερου

      είδους κόστιζε  1,60 €. Πόσες εξάδες κάθε κατηγορίας πρέπει ν’ αγοράσει ο  Γιώργος

      έτσι ώστε να πάρει τα λιγότερα ρέστα ;

19.Για ποια ψηφία  x  και  y  διαιρείται δια του  45  ο αριθμός του οποίου η παράσταση στο

      δεκαδικό σύστημα αρίθμησης  είναι  6x12y ;

20.Έστω   μια γωνία  70ο , ΟΑ μια ημιευθεία που είναι κάθετος στην  Ox και  ΟΒ μια

      ημιευθεία που είναι κάθετος στην  Oy . Να υπολογισθούν τα μέτρα των γωνιών   ,

        ,  . ( Να εξετάσετε διάφορες περιπτώσεις των καθέτων ημιευθειών)

21.Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης :  Α = 23.53 + 2004:4 + (32 – 4).100 + 3

22.Ένας τετραψήφιος αριθμός  Κ  έχει όλα του τα ψηφία του ίσα και το άθροισμα των

      ψηφίων του είναι  20.

      i) Να βρεθεί ο αριθμός  Κ    ,    ii) Να βρεθεί δεκαδικός αριθμός  α  και  φυσικός 

          αριθμός  ν  τέτοιοι ώστε να ισχύει :  Κ = α.10ν , με  1 10 .

23.Στο παρακάτω σχήμα η ευθεία  ΜΛ είναι κάθετη προς την πλευρά  ΒΓ στο μέσον

      της Μ . Επιπλέον ισχύει  ΜΓ = 5cm ,  ,  και το εμβαδόν του

      τριγώνου  ΑΒΓ είναι 35cm2 . Να βρείτε :

      α) Τις γωνίες   ,  ,  του τριγώνου  ΑΒΓ 

       β) Το ύψος  ΑΔ  του τριγώνου  ΑΒΓ .

                           

24.Η τιμή του πετρελαίου στη Ν. Υόρκη ένα χρόνο πριν στις 30 – 10 – 2010 ήταν 32

      δολάρια το βαρέλι , ενώ σήμερα είναι  54,4 δολάρια το βαρέλι. 

      α) Πόσο  % έχει αυξηθεί η τιμή του βαρελιού σε σχέση με την τιμή που είχε ένα χρόνο

           πριν ; 

      β) Πόσα  δολάρια πρέπει να μειωθεί η τιμή του βαρελιού μέχρι την 30 – 11 – 2011 έτσι

          ώστε η τιμή που θα έχει τότε να είναι αυξημένη κατά  40% σε σχέση με την τιμή που

          είχε  στις 30 – 10 – 2010 ;